教具巡禮③-數學Maths
蒙特梭利的數學教具,可說是整個蒙特梭利教學法的精髓所在,凸顯它與其他教育法的差異。
有別於在紙上運算,蒙特梭利的數學是「視覺式學習」。
最簡單的例子就是「大數棒」,這是數學領域的入門教具:

☝紅藍相關是大數棒的標準配色。除了雙色版,大數棒也有純紅色版的。
這件教具就是將數目轉化為可視化的「長度」。
數棒只有十根,最短的是10CM,最長的有100CM。
數棒的顏色紅藍相間,紅色是奇數,藍色是偶數,相傳蒙特梭利博士當初使用這兩種顏色,就是因為當年她唸醫學的時候,常常要用紅筆和藍筆來描畫動脈和靜脈。
「數棒」最基本的操作法,就是與數字做配對:
當幼兒認識了連續數的概念,就可以大人引導之下學習10以內的基本加法,方法同樣是將數字化為可視化的「長度」,將兩根數棒拼接正是代表相加。
當然,「大數棒」的缺點是真的太大(這個其實也是優點,因為可以讓幼兒鍛鍊手力)。
熟習「大數棒」之後,就可以讓幼兒玩縮小版的「小數棒」。


注意!整套教具的「小數棒」是有兩組數棒,即是總共有二十根小數棒。
「小數棒」的操作法之一,就是讓幼兒拼砌出數字的組合。例如要拼出「9」,就要比照9的長度,組合方式有1+ 8、2 + 7、3 + 6……等等。只要幼兒發現長度不一致,就會察覺自己拿錯了數棒,這種自我修正的過程正是蒙式教學最有意義的特色。

Small Numbering Rods
小數棒
認識阿拉伯數字的寫法算是「語文」的範疇,這方面可以借助「砂字板」這樣的教具,讓幼兒認識「1」至「9」這些數字的寫法。
而要了解「0」的概念,就可以利用「紡錘棒盒」這一件教具,導師帶領幼兒數算紡錘棒,放置到相等數字符號的位置。例如,在標記著「9」的位置,幼兒必須放入九根紡錘棒。紡錘棒的總數是四十五根,所以到了最後一步,幼兒就會發現沒有棒子可以放置在「0」的位置,於是了解「0」的意思即是「沒有」。

Spindle Box
紡錘棒盒,讓孩子用手來「感受」數字。
當幼兒有了數學的基礎,就可以開始接觸中階的數學教具。
要學習十進制的加法(或者減法),最有趣的教具就非「郵票遊戲」莫屬了。
各位家長應該很難想像,對一個五歲的小孩來說,他可以透過「郵票遊戲」來學會有進位的加數。玩完這件教具,小孩便可以熟悉數位的轉換關係。

工作過程:
一張張郵票就像是是籌碼,千位是綠色,百位是紅色,十位是藍色,個位數是綠色。
導師出題目,例如:
5015 + 3812 =
如果幼兒還不會寫數字,這條題目會由導師寫在出題紙上面。
幼兒分別要取出代表「5015」和「3812」的郵票。
接著導師說:「現在請你把5015的郵票和3812的郵票組合在一起。」
幼兒按照不同顏色的郵票合放,就能明白數位的概念,最後數一數有多少枚郵票,便能算出四位數的加總。
到了下一個階段,就可以讓幼兒學習有進位的加法!
Stamp Game
郵票遊戲

除了「郵票遊戲」,看似設計簡單的「大數字卡」,也可以讓幼兒快速掌握個位數、十位數、百位數和千位數的概念。

Large Wooden Number Cards
標準的「大數字卡」是木製的,但也有卡紙製的版本,售價相對便宜得多。

大數字卡
大人也許以為只是平平無奇的數字卡,但原來只要懂得操作,就可以讓小孩拼出 1 至 9999 的大數字!
對,教具叫「大數字卡」,並不是因為卡片很大,而是因為可以組合成對小孩來說很大的數字。
工作過程:
首先將數字卡順序排開。
然後讓小孩拿著外盒,組成家長唸出的數字。
像下圖這樣將數字卡重疊,就會組成「9876」這個千位數。

蒙式教學幾乎不需要幼兒學習握筆寫字,因為所有計算都是透過操作物件來完成。
比起一個個數字,或者一條條數學橫式,蒙式教學要建立的是「可視化的概念」,直接用實物來呈現數字,讓孩子感受數學與生活的聯繫。
近年筆者接觸到「新加坡數學」,發現新加坡數學跟蒙式教學有異曲同工之妙,特點亦是「視覺式學習」,這一點才是最切合人類大腦的認知能力。眾所周知,新加坡的孩子在數學方面表現出色,他們的秘訣不是瘋狂操練題目,而是使用畫圖的方式來解題。
以下這張圖,可以讓大家稍為了解何謂新加坡數學:

很多國際學校,以至美國的私校,都開始引入「新加坡數學」,原因就是這套學習法有助學生理解抽象的數學問題(更重要是不會令學生討厭數學)。
同樣道理,蒙特梭利就是將複雜的數學概念,化為一件件可以觸摸的教具。
例如,大人教小孩平方數,通常是直接叫他死背數字,即是2 x 2 = 4、3 x 3 = 9、4 x 4 = 16……
而在蒙特梭利的教室,幼兒想學習平方數,可以操作「串珠」這件教具:

串珠可說是「數學教具」之王,堪稱是一件萬用的教具。
最基本的玩法是用來做珠算:

在背誦乘數表之前,讓幼兒在腦中建立乘法的概念。
當「串珠」以平方數的方式組合,就會變成「平方鏈」這件教具:

幼兒玩熟了「平方鏈」,就可以再提高難度,變成「立方鏈」:

看!平方和立方,在蒙特梭利的數學世界,就真的是4×4的串珠和4x4x4的3D正方體。
而且「立方鏈」最有趣的地方是可以拆開的!只要將整條「立方鏈」拆開,像一條長蛇一樣鋪放在地上,每四顆每四顆標示乘數,幼兒就會明白立方是由4的倍數不停加乘。
除此之外,蒙特梭利的教具之間都有互通性,幼兒透過「乘除法板」這件教具,也可以掌握到平方的概念:


按照台灣和香港的課程,升上小學三年級,學生才會學習除法。
但在蒙特梭利的幼兒園課程,有數學天賦的孩子,很早就會接觸到除法。但在蒙特梭利的教室,一個五歲的幼兒使用「乘除法板」,便可以計算一些簡單的除法題目。
除此之外,蒙特梭利教室還有五花八門的數學教具,全部由淺入深,透過親身的操作,來讓幼兒掌握具體至抽象的數學概念,開啟一扇通往數學之門!
Children display a universal love of mathematics, which is par excellence the science of precision, order, and intelligence.
孩子們普遍熱愛數學,數學是一門關於精確、秩序和智能的卓越科學。
Dr. Maria Montessori